Nichtleer x+y€U für x,y€U ax€U für a€K und x€U v1+v2 W1 u W2 => Unterraum von V Für jedes v € W1: a1x1 + a2x2 + ... + aNxN Für jedes w € W2: b1y1 + b2y2 + ... + bNyN Ew1 = {x1, ..., xN} Ew2 = {y1, ..., yN} Sei v € W1 So gilt: av € W1 Sei w € W2 So gilt: aw € W2 Da W1 u W2 Unterraum von V av + bw € W1 u W2 Sei a=b so folgt: av + aw € W1 u W2 a(v + w) € W1 u W2 Angenommen W1 u W2 Unterraum von V, jedoch W1 nicht teilmenge W2 und W2 nicht teilmenge W1 => Es gibt ein Element x € W1 sodass gilt: x nicht € W2 Sei a,e € K, x € W1, x nicht € W2, y € W2, y nicht € W1 W1 u W2 Unterraum, also gilt: x + y € W1 oder x + y € W2 x + y € W1 kann nicht sein, da y nicht € W1 ist x + y € W2 kann nicht sein, da x nicht € W2 ist W1, W2 Unterraum W1 Teilmenge W2 => W1 u W2 Unterraum von V => Für alle x € W1 gilt: x € W2 oder Für alle x € W2 gilt: x € W1 Sei a € K Da W1,W2 Unterraum, und alle x € W1 sind x € W2: a1x1 + ... + aNxN € W1 Da alle x € W1, gilt: a1x1 + ... + aNxN € W2 W1 u W2 nichtleer da jedes x € W1 auch € W2 ist gilt: x + y, x € W1, y € W2: x + y € W1 u W2 Da W1 Unterraum gilt: ax € W1 QED HUEHUE 2a+5b+c=b1 6c=b2 4a+3b=b3 2a+5b+c ist surjektiv auf Q, da a ein beliebiges element von Q ist und b und c mit 0 gewählt wegfallen. 6c ist surjektiv auf Q, da c ein beliebiges element von Q ist 4a+3b ist surjektiv auf Q, da b ein beliebiges element von Q ist und a mit 0 gewählt wegfällt. Folglich sind b1,b2 und b3 surjektiv auf Q definiert und somit kann der Vektor b = (b1,b2,b3) jeder Vektor aus Q³ sein. 5.3 (2) R als Q-Vektorraum 1, v2 als Linkomb. => v3 a*1+b*v2 = v3, a,b€Q b=(v3-a)/v2, (v3-a)/v2 nicht € Q => b nicht € Q a=v3-bv2, v3, bv2 nicht € Q => a nicht € Q => v3 nicht als linkomb des Q-Vektorraums darstellbar.